Конец не может быть завершающим, он сам по себе уже завершение. беседа подошла к  концу.

беседа подошла к завершающему концу-беседа подошла к концу, или беседа подошла к завершению
в этом предложении использован плеоназм, т.е. излишество слов-синонимов. в данном случае: к завершающему концу. завершение-это и есть конец.  поэтому использовать это в одном предложении считается ошибкой.