Помогите, пожалуйста, найти общее решение уравнения: y\'\'-2y\'+5y=10e^-x cos2x
5
(1 оценка)
1
Ответ: y=C1*e^x*cos(2*x)+C2*e^x*sin(2*x)+1/2*e^(-x)*cos(2*x)-e^(-x)*sin(2*x).
Пошаговое объяснение:
Перед нами - неоднородное ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью "специального" вида f(x)=e^(m*x)*[P1(x)*cos(n*x)+P2(x)*sin(n*x)], где m=-1, n=2, P1(x)=10, P2(x)=0. Для его решения составим сначала однородное уравнение y"-2*y'+5*y=0. Характеристическое уравнение (ХУ) имеет вид: k²-2*k+5=0. Оно имеет комплексные сопряжённые корни k1=1+2*i, k2=1-2*i, где i=√-1. Поэтому общее решение уравнения имеет вид: y1=C1*e^x*cos(2*x)+C2*e^x*sin(2*x).
Переходим теперь к нахождению частного решения y2 данного уравнения. Так как числа m+i*n=-1+2*i и m-i*n=-1-2*n не являются корнями ХУ, то будем искать y2 в виде: y2=e^(m*x)*[R1(x)*cos(n*x)+R2(x)*sin(n*x)], где R1(x) и R2(x) - многочлены, степень которых равна старшей степени многочленов P1(x) и P2(x). Так как эта старшая степень равна нулю, то R1(x)=A и R2(x)=B, где A и B - постоянные числа. Тогда y2=e^(-x)*[A*cos(2*x)+B*sin(2*x)]. Дважды дифференцируя y2, подставляя значения для y2' и y2" в уравнение, приводя подобные члены и сокращая на e^(-x), приходим к уравнению 4*A*cos(2*x)+8*A*sin(2*x)+4*B*sin(2*x)-8*B*cos(2*x)=10*cos(2*x), или cos(2*x)*[4*A-8*B]+sin(2*x)*[8*A+4*B]=10*cos(2*x). Отсюда следует система уравнений:
4*A-8*B=10
8*A+4*B=0
Решая её, находим A=1/2 и B=-1. Значит, y2=1/2*e^(-x)*cos(2*x)-e^(-x)*sin(2*x) и тогда общее решение уравнения y=y1+y2=C1*e^x*cos(2*x)+C2*e^x*sin(2*x)+1/2*e^(-x)*cos(2*x)-e^(-x)*sin(2*x).